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第二章 波斯棋盘（第1页）

第二章波斯棋盘

世界上没有一个比数学还要更简单、更普遍、少错误，及更明确的语言，能用来描述自然界中万物间的永恒关系。数学似乎是一种人类头脑后天的机能，注定了来弥补人类生命的短促，以及人类感官上的天生缺陷。

约瑟夫·傅里叶（JeanFourier）[12]

《热学解析理论，初步论述》

（AnalyticTheoryofHeat，PreliminaryDiscourse，1822年）

1。85×1019粒麦粒

我第一次听到下面这个故事时，别人告诉我它发生在古代的波斯。可是，这故事也有可能发生在古代印度或者古代中国。不管怎么说，都是很久以前发生过的事了。话说这国家的大维齐尔（GrandVizier，国王的助手，相当于中国古代的宰相）发明了一种新游戏。玩家按照游戏规则，在一个画了64个红黑交错的方格平盘上，移动各式小块物体。最重要的小块物体代表国王，次重要的代表大维齐尔——这很符合大维齐尔会发明的游戏。游戏的目的是把敌方的国王逮住，因此它的波斯名字是shahmat——shah是波斯国王的称号，mat在波斯文中的意思是死亡。shahmat的意思就是“国王之死”，或简称为“王死”。在俄文中，游戏名还保留了“国王之死”的波斯文原意，叫作“shakhmat”。即使在英文中，这游戏仍然带有一些原名的余响——下棋最后胜利的一步，即把敌方国王逮住的那一步，叫作“将死”（checkmate）。你们一定猜出了，这个游戏就是西方的国际象棋（chess）。时光流转，棋子、棋步，及游戏规则也与时俱进；例如，现代围棋中已没有“大维齐尔”这枚棋子——大维齐尔变形成“王后”，同时权力大增。

真是想不通，为什么一位国王会对“国王之死”的游戏大感兴趣。可是，照这故事的说法，国王显然龙心大悦，他对大维齐尔说：“你自己说，你要什么奖赏。你说什么，我就给什么。”大维齐尔已经胸有成竹，他告诉国王说，他是谦虚知足的人，只要一个很朴实的奖赏。他指了指他发明的有8排横的8排纵的方格棋盘，说他只要一些麦粒，规则是在第1个方格上放1粒麦子，第2个方格上放2粒麦子，第3个方格上放4粒麦子，以后每经过一个方格，麦粒的数目就加倍，直到所有的方格上都堆满了麦子。国王用责骂的口吻向这位大维齐尔说，不行，对这样重要的发明来说，这种奖赏太少了。他要给大维齐尔珠宝、舞伎、华宫。可是大维齐尔低下头，婉拒了这些奖赏。他只想要一小堆的麦子。国王心中不禁称赞起这位大维齐尔，说他的首席顾问是如此谦逊以及克制物欲，于是他立即同意了大维齐尔这个很“谦卑”的要求。

可是，当皇家麦仓长来数麦粒时，国王遭遇了出乎意料的难堪窘境。麦粒的数目开始时很小：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024。可是，快到第64个方格时，麦粒的数目大得惊人。事实上，第64个方格上麦粒的数目是1。85×1019粒。也许是因为这位大维齐尔太爱这种高纤维食物，所以才会要这么多的麦粒。

1。85×1019粒麦粒有多重？如果每颗麦粒的大小是1毫米，那么所有麦粒的总重量是750亿吨，远超这位国王的麦仓可以储存的麦粒总量。事实上，750亿吨的麦粒相当于全球在150年内的小麦现产量总和。我们始终不知道这故事的结局如何。是这位国王感到自惭，无法履行他的允诺，而把王位禅让给这位大维齐尔呢，还是这位大维齐尔参加了一种新游戏——“大维齐尔之死”呢？这我们就不得而知了。

大维齐尔的奖赏

现金价值指数增长（减少）

这个波斯棋盘的故事也许只是一个传说。不过古波斯人和古印度人确实都是数学界极为出色的先驱，他们知道当你把数字不断加倍之后，会得出惊人的数字。如果发明棋盘的人不用8×8的棋盘，而把棋盘加大到10×10的话，照每个棋盘加倍麦粒的算法，第100个棋格上的麦粒总重将和地球一样。如果有一数字序列（sequence），每位数字是前一位数字的固定倍数，这个数字序列就叫作几何级数。数字按几何级数增值的过程就叫作指数增长（expoialincrease）。

不管我们熟不熟悉它，指数经常出现在我们重要的日常生活领域中。复利就是一个绝佳的例子。假设在200年前，或美国独立战争后不久，你的一位祖先在银行中替你存了10美元，以年息5％计息。以复利计算，累计至今，本息已达10×（1。05）200或172925。81美元。可是，很少有如此深谋远虑的祖先会挂念这些后代子孙的福利，何况在当年，10美元也是一笔不小的数目。如果当年那位祖先有办法拿到6％的年息，你现在就有百万财产。如果是7％，你就有750万以上的财富。如果年息是近乎高利贷的10％，现在你已跻身亿万富豪之列，坐拥19亿美元了。

这看来很好。不过通货膨胀也会导致同样的后果。如果每年的通货膨胀率是5％，今年的1美元到明年只值0。95美元，2年后，只值0。91（0。952）元，10年后只值0。61美元，而在20年后只值0。37美元，以此类推。这样的贬值，对那些不按通货膨胀率调整，只领取固定退休年金的退休者而言，的确是个残酷的现实问题。

如何计算发明棋盘的大维齐尔向国王要求的麦粒总数

不要怕!这项计算真的很简单。我们现在要计算波斯棋盘上所放麦粒的总数。一个简洁优雅的计算方法如下：指数告诉我们要把一个数字乘自己几次，22=2×2=4，24=2×2×2×2=16，210=1024，等等。第1格上的麦粒是1，第2格是2，第3格是22，第4格是23，第64格是263，如果用S代表棋盘上的所有麦粒的总数，那么：

S=1+2+22+23+……+262+263

我们把上式乘以2，得到：

2S=2+22+23+……+262+263+264

注意，2S比S多一个264，少一个1。如果用2S的方程减掉S的方程，所有其他项都消掉了，只剩下两项，就是我们的答案：

2S-S=S=264-1

这就是正确答案。

如果用我们熟悉的十进制来表达264，是多少呢？当然，可以用计算机来算，不过还有一个更简单的方法。注意，210=1024，因此210约为1000=103（准确度，24%），220=2（10×2）=（210）2≈（103）2=106，约为100万。因此260=（210）6≈（103）6=1018，所以264=24×260≈16×1018，或16后面跟了18个0。用计算机算出的正确答案是1。85×1019。